Гавриил Фёдорович Алексеенко родился в крестьянской семье. Получил начальное образование и до войны работал комбайнёром в колхозе «Красный боец». Его мирная жизнь была связана с родным селом и трудом на земле.
На фронте Алексеенко стал санитарным инструктором. Помогал раненым непосредственно на поле боя, выносил их в безопасное место, а при контратаках противника брался за оружие вместе с другими бойцами. Даже собственное ранение не заставило его оставить товарищей, которым требовалась помощь.
После демобилизации в 1945 году Гавриил Фёдорович вернулся в Николину Балку. Работал председателем колхоза, а его труд по выращиванию высоких урожаев был отмечен медалью Выставки достижений народного хозяйства СССР.
Алексеенко ушёл из жизни 1 августа 1971 года. Похоронен в родном селе. Здесь его именем названа улица, а на доме, в котором он жил, установлена мемориальная доска.

В 1941 году Гавриил Алексеенко был призван в Красную Армию. С июля находился на фронте. Воевал в пехоте, участвовал в Сталинградской битве и форсировании Днепра. К осени 1943 года служил санитарным инструктором 610-го стрелкового полка 203-й стрелковой дивизии. 
10 ноября 1943 года в бою у населённого пункта Новый Кичкас в Запорожской области Алексеенко оказал медицинскую помощь 60 раненым солдатам и командирам. Находясь в боевых порядках пехоты, он также участвовал в отражении вражеских контратак.
27 ноября в боях возле хуторов Алексеевский и Каневский санинструктор помог 11 раненым бойцам и вынес их с поля боя вместе с оружием. С 28 ноября по 2 декабря, во время боёв за расширение плацдарма на правом берегу Днепра, спас ещё 15 раненых солдат и офицеров.
С 15 по 21 мая 1944 года в районе села Дороцкое на Днестре Алексеенко под огнём противника оказал помощь десяти солдатам и четырём офицерам. В этих боях он сам получил ранение, но продолжил выполнять свои обязанности и не покинул поле боя.
В 1945 году Гавриил Фёдорович был демобилизован и вернулся на родину.

Боевые заслуги Гавриила Алексеенко были отмечены орденами Славы всех трёх степеней. Первую из этих наград — орден Славы III степени — он получил по приказу от 24 ноября 1943 года за помощь раненым и участие в отражении контратак у Нового Кичкаса.
За спасение бойцов в последующих боях на Днепре 8 января 1944 года Алексеенко был награждён орденом Славы II степени. Мужество, проявленное в майских боях у Дороцкого, принесло ему высшую степень ордена: Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года старшина был удостоен ордена Славы I степени и стал полным кавалером.
Среди его боевых наград — также две медали «За боевые заслуги». С одной из них связана история, которая получила продолжение спустя почти четверть века после войны.

В августе 1968 года Гавриил Алексеенко вновь приехал в места, где воевал весной 1944-го. Поводом стала находка на дне Днестра: в поднятом танке Т-34 обнаружили медаль «За боевые заслуги», предназначавшуюся ему ещё во время войны.
Историю этой награды ветеран рассказал журналистам газеты «Советская Молдавия». В боях с 16 по 23 августа 1943 года он вынес с поля боя 17 тяжелораненых бойцов и двух офицеров. За это его представили к медали, но вручить её не успели. Награда оставалась в офицерском планшете Ивана Шикунова.
С Шикуновым Алексеенко был знаком ещё со Сталинграда. Другого танкиста, Григория Корнеева, он также знал по фронтовым боям. В мае 1944 года их пути снова сошлись у Днестра, возле сёл Кошница и Дороцкое.
«Я выносил раненых, доставлял их в наш походный лазарет, устраивал, перевязывал и снова – сумку через плечо – шел и полз туда, где бились наши бойцы», — вспоминал он.
Когда советские подразделения пошли на прорыв из окружения, раненого Алексеенко положили на броню Т-34. В ходе боя машина оказалась в Днестре. Однополчане вытащили санинструктора из воды, после чего его отправили в госпиталь. После лечения он вернулся на фронт и продолжил службу.
11 августа 1968 года танк подняли со дна реки. Внутри нашли планшет с документами и наградами. По номеру одной из медалей установили имя Алексеенко и разыскали его на Ставрополье.
Об этой находке рассказала директор Тираспольского объединённого музея Алла Мельничук, ссылаясь на материалы «Советской Молдавии», сохранившиеся в музейном архиве. Гавриила Фёдоровича пригласили на открытие Кургана Славы под Дубоссарами.
24 августа 1968 года он присутствовал на открытии мемориала. На вершине Кургана установили тот самый Т-34, а у его подножия увековечили память экипажа: Ивана Шикунова, Григория Корнеева, Константина Митрофанова и Александра Максимова.