После окончания школы в 1941 г. поступил в Стерлитамакскую фельдшерскую школу, но учебу не завершил. В 1943 г. был призван на военную службу в должности командира пулеметного расчета, участвовал в боях на Орловско-Курской дуге.
В сентябре 1943 г. при форсировании Днепра и захвате плацдарма на правом берегу в ходе боя была тяжело ранена девушка санинструктор батальона. Павел Антонович остался единственным на плацдарме медиком и был переведен в санитары. Подвиг санинструктора П.А. Горошека кратко описан в его наградном листе: «22 сентября 1943 г. вместе с боевым подразделением первым переправился через Днепр, оказал помощь 26 бойцам и командирам, вынес с зоны обстрела под огнем вражеской артиллерии 32 раненых красно-армейцев с их оружием, принимал участие в отражении контратаки, из своего автомата убил 9 немцев». За этот подвиг П.А. Горошеку было присвоено звание Героя Советского Союза. При оформлении документов была допущена опечатка: фамилия героя Горощик была напечатана как Горошек.
По настоянию батальонного военврача рядовой П.А. Горошек так и остался санитаром. В дальнейшем участвовал в боях на Букринском плацдарме и в освобождении сел Григоровка и Малый Букрин, в Киевской наступательной операции. В конце декабря 1943 г. был откомандирован на учебу в 2-е Саратовское танковое училище, которое он успешно окончил. После войны еще год служил в бронетанковых и механизированных войсках. В 1946 г. уволился в запас. Получил образование на юридическом факультете Белорусского государственного университета. Перед выходом на пенсию подполковник запаса П.А. Горошек занимал должность министра юстиции БССР.

ЗВАНИЕ ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО СОЮЗА ПРИСВОЕНО 17.11.1943
1943 — Орден Ленина
1943 — Медаль «Золотая Звезда»
1945 — Орден Отечественной войны 1 степени
1945 — Медаль «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.»