Алексей Борисович Хмыров окончил Сталинградский медицинский институт в 1941 году. Сразу же призвался на фронт.

За период боев по ликвидации окруженной группировки противника под Сталинградом Алексей Борисович организовал своевременную эвакуацию раненых с поля боя и оказание необходимой помощи, в том числе переливание крови и кровезамещающих жидкостей, а также обеспечил профилактику сыпного тифа среди личного состава дивизии. За это был представлен к награждению орденом «Красная Звезда» (1943).

Участвовал он и в боевых действиях Северо-Западного, Донского, Брянского, Центрального и Белорусского фронтов. Осенью 1944 года во время форсировании р. Висла организовал передовой медицинский пункт на левом берегу, обеспечил переправу раненых и своевременное оказание медицинской помощи.

Победу встретил в звании гвардии майора и должности начальника санитарной дивизии 77 гвардейской дивизии.

Награжден орденами «Красное Знамя», Отечественной войны I и II степени, медалями «За оборону Москвы», «За оборону Сталинграда».