Родился в г. Боровичи Новгородской области. После окончания школы поступил в Боровичскую фельдшерско-акушерскую школу, которую окончил в 1940 г. В том же году был призван в армию, мечтал стать врачом. Командование хотело его, как отличника военной подготовки, направить учиться в Военно-медицинскую академию в Ленинград, но планам помешала война.

С первого дня Великой Отечественной войны и до последней минуты жизни он был на передовой. Отличился во время боев в Карелии. 4 августа 1941 г. советские войска вели тяжелые бои с финскими частями в районе станции Хийтола Лахденпохского района. Чтобы остановить продвижение врага, в район была переброшена рота, в которой служил Кокорин. Он под вражеским огнем оказывал первую помощь получившим ранения бойцам и командирам, лично относил тяжелораненых в укрытие. Когда почти вся рота погибла в бою, а сам Кокорин был дважды ранен, пере - правил тяжелораненых в более надежное место, а сам вернулся на позиции и продолжил отбивать финские атаки. Когда финские солдаты все же прорвались на позиции и попытались взять Анатолия в плен, он бросил последнюю гранату, уничтожив врагов и себя.

Посмертно ему было присвоено звание Героя Советского Союза.

ЗВАНИЕ ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО СОЮЗА ПРИСВОЕНО 26.08.1941  г.
1941 — Орден Ленина
1941 — Медаль «Золотая Звезда»