В 1919 г. окончил Нижне-Тагильское реальное училище. С 1923 по 1928 гг. учился на медицинском факультете университета г. Молотова (Пермь), одновременно с обучением служил препаратором на кафедре нормальной анатомии. С 1928 по 1938 гг. работал ассистентом кафедры нормальной анатомии в г. Перми. 19 декабря 1938 г. А.С. Цветкову присуждена ученая степень кандидата медицинских наук, 29 ноября 1939 г. утвержден в ученом звании доцента по кафедре нормальная анатомия.

В 1948 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме «Анатомия нервов артерий головного мозга человека».  С 1948 по 1953 гг. А.С. Цветков - заведующий кафедрой нормальной анатомии Молотовского стоматологического института. В 1953 г. командирован в Читу на должность заведующего кафедрой нормальной анатомии медицинского института. Под его руководством на кафедре было развернуто 4 секционных зала, костная комната, комната для консервации и хранения трупного материала, инъекционная, рентгеновский кабинет, анатомический музей, ассистентские комнаты.

В годы войны в г. Молотове и его окрестностях была развернута широкая сеть эвакогоспиталей, руководителями значительной части которых из-за кадрового голода, были назначены сотрудники Молотовского стоматологического института. Начальником эвакогоспиталя хирургического профиля № 3135 на 300 койко-мест, организованного в августе 1941 г. и располагавшемся в это время в поселке Яйва Молотовской области, был назначен Цветков А.С. Госпиталь работал с большой нагрузкой до октября 1943 г., когда из-за перехода Красной армии в наступление был переведен в Курскую область, уже под руководством нового начальника.

Награжден медалями «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.», «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941 – 1945 гг.».