В 1916 г., после окончания Витебской гимназии, поступил на медицинский факультет Харьковского университета, который окончил в 1921 г. В 1923 г. был избран прозектором кафедры нормальной анатомии в Одесском медицинском институте. В 1930 г. заведовал отделом нормальной анатомии ЦНИИ учебных пособий и одновременно работал на кафедре анатомии первого ММИ в Москве. Звание профессора присвоено А.П. Лаврентьеву в 1931 г. за большой вклад в организационную и научную работу Свердловского медицинского института. С 1931 по 1944 гг. организатор и заведующий кафедрой нормальной анатомии Свердловского медицинского института. В 1941 г. Алексей Павлович защитил докторскую диссертацию “Нервы лимфатических сосудов”. Им предложено несколько совершенно оригинальных методов исследования в этой области.
В 1946 г. за выдающиеся заслуги в области научно-исследовательской работы ему присвоено звание заслуженного деятеля науки и техники Молдавской ССР. В 1949 г. награжден орденом «Знак Почета». В 1950 г. работал в Кишиневском сельскохозяйственном институте на должности профессора кафедры анатомии и физиологии зоофакультета. В 1952 г. был заведующим кафедрой анатомии и гистологии Московского зоотехнического института коневодства. После закрытия института коневодства перешел на работу во Всесоюзный научно-исследовательский институт коневодства на должность заведующего отделом физиологии.
С 1955 по 1958 гг. работал в должности заведующего кафедрой анатомии Читинского медицинского института. Под руководством А.П. Лаврентьева защищено 7 диссертаций, опубликовано более 30 работ в центральных и зарубежных изданиях.

Во время войны активно участвовал в подготовке врачей-хирургов, которым преподавал топографическую анатомию. Был консультантом эвакогоспиталей в г. Свердловске.

Награжден медалями «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941 – 1945», «За победу на Германией в Великой Отечественной войне 1941 – 1945 гг.».